Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes
A.
Pengertian
Teorema Bayes
Dalam teori probabilitas dan
statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda.
Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat
kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru.
Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers
probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes
dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi
mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk
memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.
Misalkan kawan Anda bercerita dia
bercakap-cakap akrab dengan seseorang lain di atas kereta api. Tanpa informasi
tambahan, peluang dia bercakap-cakap dengan perempuan adalah 50%. Sekarang
misalkan kawan Anda menyebut bahwa orang lain di atas kereta api itu berambut
panjang. Dari keterangan baru ini tampaknya lebih bolehjadi kawan Anda
bercakap-cakap dengan perempuan, karena orang berambut panjang biasanya wanita.
Teorema Bayes dapat digunakan untuk menghitung besarnya peluang bahwa kawan
Anda berbicara dengan seorang wanita, bila diketahui berapa peluang seorang
wanita berambut panjang.
Misalkan:
·
W adalah
kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.
·
L adalah
kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang
·
M
adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria
Kita dapat berasumsi bahwa wanita
adalah setengah dari populasi. Artinya peluang kawan Anda berbicara dengan
wanita,
P(W)
= 0,5
Misalkan juga bahwa diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini
berarti bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut
panjang adalah 0,75. Kita
melambangkannya sebagai:
P(L|W)
= 0,75
Sebagai keterangan tambahan kita
juga mengetahui bahwa peluang seorang pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain:
P(L|M)
= 0,3
Di sini kita mengasumsikan bahwa
seseorang itu adalah pria atau wanita, atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.
Tujuan kita adalah menghitung
peluang seseorang itu adalah wanita bila diketahui dia berambut panjang, atau
dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L).
B. Teorema
Bayes
Teorema Bayes, diambil dari nama
Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua
kejadian A dan B sebagai berikut:
P(A | B)
=
|
P(B | A) P(A)
|
P(B)
|
Atau
P(A | B)
=
|
P(B | A) P(A)
|
P(B | A)P(A)
+ P(B | A)P(A)
|
C. Contoh Aplikasi Dari Teorema Bayes
Di sebuah negara, diketahui bahwa 2%
dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik
adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang
tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes
memberikan hasil positif yang salah.
Jika sembarang orang dari negara itu
mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia
benar-benar menderita penyakit langka itu?
Secara sepintas, nampaknya bahwa ada
peluang yang besar bahwa orang itu memang benar-benar menderita penyakit langka
itu. Karena kita tahu bahwa hasil test klinik yang cukup akurat (97%). Tetapi
apakah benar demikian? Marilah kita lihat perhitungan matematikanya.
Marilah kita lambangkan informasi di
atas sebagai berikut:
·
B = Kejadian tes memberikan hasil positif.
·
B1 = Kejadian tes memberikan hasil negative.
·
A = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.
·
A1 = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langkat
itu.
Kita ketahui juga peluang dari
kejadian-kejadian berikut:
·
P (A) = 2%
·
P (A1) = 98%
·
P (B | A1) = 97%
·
P (B | A) = 9%
Dengan menggunakan rumus untuk
peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari kejadian-kejadian yang
mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:
A (2%)
|
A (98%)
|
|
B
|
Positif yang benar
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194 |
Positif yang salah
P (B ∩ A1) = P (A1) × P (B | A1) = 98% × 9% = 0,0882 |
B
|
Negatif yang salah
P (B1 ∩ A) = P (A) × P (B1 | A) = 2% × 3% = 0,0006 |
Negatif yang benar
P (B1 ∩ A1) = P (A1) × P (B1 | A1) = 98% × 91% = 0,8918 |
Misalnya seseorang menjalani tes
klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif, berapakah peluang bahwa ia
benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita mencoba untuk
mencari peluang dari A, dimana B atau P (A | B).
Dari tabel di atas, dapat kita lihat
bahwa P (A | B) adalah peluang dari positif yang benar dibagi dengan peluang
positif (benar maupun salah), yaitu 0,0194 / (0,0194 + 0,0882) = 0,1803.
Kita dapat juga mendapatkan hasil
yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes di atas:
P(A | B)
=
|
P(B ∩ A)
|
P(B)
|
|
=
|
P(B | A)
× P(A)
|
P(B | A)P(A)
+ P(B | A)P(A)
|
|
=
|
97% × 2%
|
(97% × 2%) + (9% × 98%)
|
|
=
|
0.0194
|
0.0194 + 0.0882
|
|
=
|
0.0194
|
0.1076
|
|
P(A | B)
=
|
0.1803
|
Hasil perhitungan ini sangat berbeda
dengan intuisi kita di atas. Peluang bahwa orang yang mendapat hasil tes
positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak sebesar yang kita
bayangkan. Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia benar-benar menderita
penyakit itu.
Mengapakah demikian?
Ketika mengira-ngira peluangnya,
seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi negara itu, hanya 2% yang
benar-benar menderita penyakit langka itu. Jadi, walaupun hasil tes adalah
positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit langka itu tidaklah sebesar
yang kita bayangkan.
Kita bisa juga meninjau situasi di
atas sebagai berikut. Misalnya populasi negara tersebut adalah 1000 orang.
Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu (2%). 19 orang dari antaranya
akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil positif yang benar). Dari 980
orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar 88 orang juga akan mendapat
hasil tes positif (9% hasil positif yang salah).
Jadi, 1000 orang di negara itu dapat
kita kelompokkan sebagai berikut:
·
19 orang mendapat hasil tes positif yang benar
·
1 orang mendapat hasil tes negatif yang salah
·
88 orang mendapat hasil tes positif yang salah
·
892 orang mendapat hasil tes negatif yang benar
Bisa kita lihat dari informasi di
atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan mendapatkan hasil tes positif
(tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu atau tidak).
Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar menderita penyakit? Hanya 19
orang dari 107, atau sekitar 18%.
DAFTAR PUSTAKA
M.B.A,Riduan.2006.Dasar-dasar
Statistik.Bandung:ALFABETA
Pratiknya.Dasar-dasar Metodologi
Penelitian dan Kesehatan, Jakarta, Raja Grapindo Persada; 2000.
Arjatmo
Tjokro. Metodologi Penelitian Bidang Kedokteran, Jakarta, FKUI.
Sokidjo
Notoatmojo, 1993, Metodologi Penelitian Kesehatan, Jakarta, Rineka Cipta. 1999.
Hidayat
AA. Metode Penelitian Kebidanan Teknik Analisis Data. Jakarta.Salemba medika;
2007,
Riduwan.
Metode dan Teknik Menyusun Tesis. Bandung. Alfabeta;2004.
https://www.idomaths.com/id/peluang5.php
Kak untuk angka 98% nya dari mana? Kan tidak di ketahui disoal
ReplyDelete100 % - 2% (peluang menderita penyakit langka)
DeleteKak kenapa pada bagian P(BIA) itu 97% pada kolom?
ReplyDelete